Question

已知椭圆的两个焦点为F₁（-

3

，0）和F₂（

3

，0），且过点P（

2

，

2

）．直线l过F₂且与椭圆交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求l的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：运用椭圆的定义，即可得到a，进而得到b，求得椭圆方程，再设直线方程为l：y=k（x-

3

），联立椭圆方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，同时运用直径所对的圆周角为直角，由斜率公式，化简整理并解方程，即可得到k．

解答： 解：椭圆的两个焦点为F₁（-

3

，0）和F₂（

3

，0），且过点P（

2

，

2

），
则c=

3

，2a=|PF₁|+|PF₂|=

( 2 + 3 )2+( 2 )2

+

( 2 - 3 )2+( 2 )2

=

7+2 6

+

7-2 6

=

6

+1+

6

-1=2

6

，
则a=

6

，b=

a2-c2

=

3

，
则椭圆为

x2

6

+

y2

3

=1，
设直线l：y=k（x-

3

），
联立椭圆方程，消去y，得，（1+2k²）x²-4

3

k²x+6k²-6=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=

4 3 k2

1+2k2

，x₁x₂=

6k2-6

1+2k2

，①
由于以线段AB为直径的圆过点P，则PA⊥PB，
即有（x₁-

2

）（x₂-

2

）+（y₁-

2

）（y₂-

2

）=0，
y₁+y₂=k（x₁+x₂-2

3

），y₁y₂=k²（x₁x₂+3-

3

（x₁+x₂）），
即有（1+k²）x₁x₂-（x₁+x₂）（

2

+

3

k2+

2

k）+4+3k²+2

6

k=0，
将①代入上式，化简可得，（11-4

6

）k²+2

6

k-2=0，
解得，k=-2-

6

或

2+3 6

25

，
则直线l：y=（-2-

6

）（x-

3

）或y=

2+3 6

25

（x-

3

）．

点评：本题考查椭圆的定义、方程和性质及运用，考查联立直线方程和椭圆方程，消去未知数，运用韦达定理，考查直径所对的圆周角为直角，考查直线的斜率公式及运用，考查化简整理和解方程的能力，具有一定的运算量，属于中档题和易错题．