Question

已知数列{a_n}是首项为1，公差不为0的等差数列，且a₁，a₂，a₅成等比数列
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=

1

anan+1

，S_n是数列{b_n}的前n项和，求证：S_n＜

1

2

．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（2）利用裂项求和即可得出．

解答： 解：（1）设数列{a_n}公差为d，且d≠0，
∵a₁，a₂，a₅成等比数列，a₁=1
∴（1+d）²=1×（1+4d）
解得d=2，
∴a_n=2n-1．
（2）b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

点评：熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式、裂项求和是解题的关键．