Question

已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，侧棱AA₁⊥底面ABCD，底面ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，AB=2，AD=4，侧棱AA₁=4．
（1）若E是AA₁上一点，试确定E点位置使EB∥平面A₁CD；
（2）在（1）的条件下，求平面BED与平面ABD所成角的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定

专题：计算题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）当E为AA₁四等分点时，即A₁E=

1

4

AA₁时，EB∥平面A₁CD．建立空间直角坐标系，确定E点坐标，即可得出结论；
（2）求出平面BED法向量、平面ABCD法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面BED与平面ABD所成角的余弦值．

解答： 解：（1）当E为AA₁四等分点时，即A₁E=

1

4

AA₁时，EB∥平面A₁CD．
证明：以AB为x轴，以AD为y轴，AA₁为z轴建立空间直角坐标系，
因此A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，4，0），C（2，1，0），A₁（0，0，4），
设E（0，0，z），则

BE

=（-2，0，z），

CA1

=（-2，-1，4），

CD

=（-2，3，0）．
∵EB∥平面A₁CD，不妨设

BE

=x

CA1

+y

CD

，
∴（-2，0，z）=x（-2，-1，4）+y（-2，3，0）．
∴

-2=-2x-2y 0=-x+3y，z=4x.

解得z=3．
所以当E点坐标为（0，0，3）即E为AA₁且靠近A₁的四等分点时，
EB∥平面A₁CD．（6分）
（2）∵AA₁⊥平面ABCD，
∴可设平面ABCD法向量为

m

=（0，0，1）．
设平面BED法向量为

n

=（x，y，1），根据

BE

=（-2，0，3），

BD

=（-2，4，0），
∴

-2x+3=0 -2x+4y=0

，
解得

n

=（

3

2

，

3

4

，1）．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

4

61

61

．
由题意可得，平面BED与平面ABD所成角的余弦值为

4

61

61

．（12分）

点评：本题考查线面平行，考查平面BED与平面ABD所成角的余弦值，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量是关键．