Question

已知f（x）=

x

x+1

（x≠-1）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）证明对任意x＞y＞0，都有f（x+y）＜f（x）+f（y）．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：本题（1）通过变形得到相应的反比例函数的平移式，联系反比例函数的单调性，可得到本题结论； （2）通过对不等式右边的转化变形，利用放缩法，可得到本题结论．

解答： （1）解：∵f(x)=

x

x+1

=1-

1

x+1

，
∵y=

1

x+1

仅有单调减区间为：（-∞，-1），（-1，+∞）．
∴f（x）仅有单调增区间为：（-∞，-1），（-1，+∞）．
（2）证明：对任意x＞y＞0，有：
f(x)+f(y)=

x

x+1

+

y

y+1

=

2xy+x+y

xy+x+y+1

，
∴f(x+y)=

x+y

x+y+1

＜

xy+x+y

xy+x+y+1

＜f(x)+f(y)．
∴原命题得证．

点评：本题考查了函数的单调性和不等式证明，本题有一定的思维量，属于中档题．