Question

如图所示，在长方形ABCD中，AB=2BC，E为CD的中点，F为AE的中点，现在沿AE将△ADE向上折起．
（1）在线段AB上是否存在一点K，使BC∥平面DFK？若存在，请证明你的结论；若不存在，请说明理由．
（2）若平面ADE⊥平面ABCE，求证：AD⊥BE．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）线段AB上存在一点K，且当AK=

1

4

时，BC∥面DFK；设H为AB的中点，连接EH，则BC∥EH，利用三角形的中位线定理即可证明FK∥BC，再利用线面平行的判定定理即可证明；
（II）利用勾股定理的逆定理即可证明BE⊥AE，又面ADE⊥面ABCE，利用面面垂直的性质可得BE⊥平面ADE，再利用面面垂直的判定定理即可证明结论．

解答： 解：（Ⅰ）线段AB上存在一点K，且当AK=

1

4

时，BC∥面DFK，

证明如下
设H为AB的中点，连接EH，则BC∥EH
又∵AK=

1

4

，F为AE的中点，
∴KF∥EH，∴KF∥BC，
∵KF?面DFK，BC?面DFK，
∴BC∥面DFK．
（II）∵在折起前的图形中E为CD的中点，AB=2，BC=1，
∴在折起后的图形中：AE=BE=

2

，
从而AE²+BE²=4=AB²
∴AE⊥BE．
∵面ADE⊥面ABCE，面ADE∩面ABCE=AE，
∴BE⊥平面ADE，∵AD?平面ADE
∴BE⊥AD

点评：熟练掌握三角形的中位线定理、线面平行的判定定理、勾股定理的逆定理、面面垂直的性质和判定定理、线面垂直的判定定理是解题的关键．