Question

若双曲线的两条准线之间距离为3，且过点（2，

3

3

），求双曲线的标准方程．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知得

2a2

c

=3，从而4a⁴=9c²=9（a²+b²），由此能求出双曲线的标准方程．

解答： 解：由已知得

2a2

c

=3，
所以4a⁴=9c²=9（a²+b²），（1）
如果双曲线焦点在x轴上，
则方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，
将x=2，y=

3

3

代入得

4

a2

-

1

3b2

=1，（2）
联立（1）（2），解得a²=3，b²=1，或a²=

13

4

，b²=

13

9

，
如果双曲线焦点在y轴，则方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1，
将x=2，y=

3

3

代入得

1

3a2

-

4

b2

=1，（　　）
由（1）（3）可得无解．
所以，所求双曲线方程为

x2

3

-y2=1 或

x2

13 4

-

y2

13 9

=1．

点评：本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．