Question

18．已知直线l：x-y+3=0被圆C：（x-a）²+（y-2）²=4（a＞0）截得的弦长为$2\sqrt{2}$，求
（1）a的值；
（2）求过点（3，5）并与圆C相切的切线方程．

Answer 1

分析 （1）求出圆心C（a，2），半径r=2，圆心到直线l：x-y+3=0的距离，通过勾股定理求解即可．
（2）判断点与圆的位置关系，通过①当切线方程的斜率存在时，设方程为y-5=k（x-3），由圆心到切线的距离d=r求解即可；②当过（3，5）斜率不存在，判断直线x=3与圆是否相切，推出结果．

解答 解：（1）依题意可得圆心C（a，2），半径r=2，
则圆心到直线l：x-y+3=0的距离$d=\frac{{|{a-2+3}|}}{{\sqrt{{1^2}+{{（-1）}^2}}}}=\frac{{|{a+1}|}}{{\sqrt{2}}}$，
由勾股定理可知${d^2}+{（\frac{{2\sqrt{2}}}{2}）^2}={r^2}$，代入化简得|a+1|=2，
解得a=1或a=-3，又a＞0，
所以a=1；…（5分）
（2）由（1）知圆C：（x-1）²+（y-2）²=4，又（3，5）在圆外，
∴①当切线方程的斜率存在时，设方程为y-5=k（x-3），由圆心到切线的距离d=r=2可解得$k=\frac{5}{12}$，
∴切线方程为5x-12y+45=0…（9分），
②当过（3，5）斜率不存在，易知直线x=3与圆相切，
综合①②可知切线方程为5x-12y+45=0或x=3…（10分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，考查计算能力．