Question

8．已知函数f（x）=|x-1|+|x-a|
（1）若函数f（x）的值域为[2，+∞），求实数a的值
（2）若f（2-a）≥f（2），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用函数的几何意义，求出函数的最小值，列出方程求解a即可．
（2）利用不等式，转化为代数不等式，求解即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=|x-1|+|x-a|≥|x-1-（x-a）|=|a-1|，
∴|a-1|=2，解得a=3或a=-1．
（2）由f（2-a）≥f（2），可得3|a-1|-|a-2|≥1，
则$\left\{\begin{array}{l}{a≤1}\\{3（1-a）-（2-a）≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1≤a≤2}\\{3（a-1）-（2-a）≥1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{3（a-1）-（a-2）≥1}\end{array}\right.$，
解得：a≤0或$\frac{3}{2}≤a≤2$或a≥2．
综上a的范围是：$（-∞，0]∪[\frac{3}{2}，+∞）$．

点评 本题考查函数的最值及函数恒成立，不等式的解法，考查分类讨论思想的应用．