Question

1．如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=AB=1．AA₁=CD=2．E为棱DD₁的中点．
（1）证明：B₁C₁⊥平面BDE；
（2）求二面角D-BE-C₁的大小．

Answer 1

分析 （1）由题意证明BC⊥BD，再由已知ABCD-A₁B₁C₁D₁为直四棱柱，得BC⊥DE，由线面垂直的判定可得BC⊥平面BDE，进一步得到B₁C₁⊥平面BDE；
（2）如图建立空间直角坐标系，由已知求出B，C，C₁，E的坐标，进一步求出平面BEC₁ 与平面BDE的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角D-BE-C₁的大小．

解答 （1）证明：由题意，BD=BC=$\sqrt{2}$，
∵CD=2，∴BD²+BC²=CD²，则BC⊥BD．
又∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为直四棱柱，∴BC⊥DE，
∵BD∩DE=D，∴BC⊥平面BDE，
又∵B₁C₁∥BC，∴B₁C₁⊥平面BDE；
（2）解：如图建立空间直角坐标系，
则有B（1，1，0），C（0，2，0），C₁（0，2，2），E（0，0，1）．
$\overrightarrow{B{C}_{1}}=（-1，1，2）$，$\overrightarrow{BE}=（-1，-1，1）$．
设平面BEC₁ 的法向量为$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BE}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-x+y+2z=0}\\{-x-y+z=0}\end{array}\right.$，取x=3，得$\overrightarrow{n}=（3，-1，2）$．
由（1）知，平面BDE的一个法向量$\overrightarrow{BC}=（-1，1，0）$．
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{-4}{\sqrt{2}×\sqrt{14}}=-\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
由图可知，二面角D-BE-C₁为钝角，
∴二面角D-BE-C₁的大小为arccos（-$\frac{2\sqrt{7}}{7}$）．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．