题目内容

（1）已知：a，b，x均是正数，且a＞b，求证：1＜
a+x
b+x
＜
a
b
；
（2）当a，b，x均是正数，且a＞b，求证
b
a
＜
b+x
a+x
＜1；
（3）证明：△ABC中，
sinA
sinB+sinC
+
sinB
sinC+sinA
+
sinC
sinA+sinB
＜2．
考点：不等式的证明,三角函数恒等式的证明
专题：不等式
分析：（1）证
a+x
b+x
＞1，a＞b，a+x＞b+x，不等式两边同除以b+x即可，证
a+x
b+x
＜
a
b
，作差即可；
（2）证明过程同（1）；
（3）根据正弦定理得到，左边=
a
b+c
+
b
c+a
+
c
a+b
，由（2）便可得到：
a
b+c
＜
2a
b+c+a
，
b
c+a
＜
2b
c+a+b
，
c
a+b
＜
2c
a+b+c
，所以
a
b+c
+
b
c+a
+
c
a+b
＜2，所以原不等式成立．
解答： 证：（1）∵a，b，x均是正数，且a＞b；
∴a+x＞b+x，∴
a+x
b+x
＞1；
∵
a+x
b+x
-
a
b
=
b(a+x)-a(b+x)
(b+x)b
=
x(b-a)
(b+x)b
；
b-a＜0，∴
a+x
b+x
＜
a
b
；
∴1＜
a+x
b+x
＜
a
b
；
（2）当a，b，x均是正数，且a＞b时，a+x＞b+x，∴
b+x
a+x
＜1；
b
a
-
b+x
a+x
=
b(a+x)-a(b+x)
a(a+x)
=
x(b-a)
a(a+x)
；
b-a＜0，∴
b
a
＜
b+x
a+x
；
∴
b
a
＜
b+x
a+x
＜1；
（3）由正弦定理得：
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
=2r；
sinA=
a
2r
，sinB=
b
2r
，sinC=
c
2r
；
∴
sinA
sinB+sinC
+
sinB
sinC+sinA
+
sinC
sinA+sinB
=
a
b+c
+
b
c+a
+
c
a+b
；
∵b+c＞a，c+a＞b，a+b＞c；
∴由（2）得
a
b+c
＜
2a
a+b+c
，
b
c+a
＜
2b
c+a+b
，
c
a+b
＜
2c
a+b+c
；
∴
a
b+c
+
b
c+a
+
c
a+b
＜
2a
a+b+c
+
2b
a+b+c
+
2c
a+b+c
=2；
∴
sinA
sinB+sinC
+
sinB
sinC+sinA
+
sinC
sinA+sinB
＜2．
点评：考查作差法证明不等式，正弦定理，将角的关系转化成边的关系，以及两边之和大于第三边．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使等式f（x0）=x0成立，则称x=x0为函数f（x）的不动点，若x=±1均为函数f（x）=
2x+a
x2+b
的不动点．
（1）求a，b的值．
（2）求证：f（x）是奇函数．
在直二面角α-l-β的棱l上取一点A、过A分别在α，β内A的同侧作与l成45°的直线，则这两条直线所夹的角为（　　）
A、45°B、60°
C、90°D、120°
已知关于x的方程|
x(|x+3|-3)
2-x2
+2a|=a2-3有奇数个解，则a的值为
 
．
已知函数f（x）=
ax
1+x2
（a≠0，a∈R），若a=2，求f（x）在x＞0时的最大值．
已知命题p：若（x-1）（x-2）≠0，则x≠1或x≠2；命题q：存在实数x0，使2x0＜0．下列选项中为真命题的是（　　）
A、pB、￢qC、p∨qD、q∧p
若方程x2-11x+30+a=0的两根一个大于5且一个小于5，则实数a的取值范围是
 
．
在平面直角坐标系xoy中，若双曲线方程为
x2
m
-
y2
m2+3
=1的焦距为6，则实数m=
 
．
函数f（x）=
-x2-2x(-2≤x≤0)
x(0＜x≤2)
，则f（x）的最大值和最小值分别是
 
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网