Question

已知函数f（x）的定义域为D，若存在x₀∈D，使等式f（x₀）=x₀成立，则称x=x₀为函数f（x）的不动点，若x=±1均为函数f（x）=

2x+a

x2+b

的不动点．
（1）求a，b的值．
（2）求证：f（x）是奇函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）直接利用定义把条件转化为f（-1）=-1，f（1）=1联立即可求a，b的值及f（x）的表达式；
（2）根据奇函数的定义进行证明．

解答： 解：（1）有题意可得：

f(-1)= 2×(-1)+a (-1)2+b =-1 f(1)= 2×1+a 12+b =1

解得：

a=0 b=1

；
（2）由（1）知，

a=0 b=1

，故f（x）=

2x

x2+1

，
定义域是R，
设任意x，则，
f（-x）=

-2x

x2+1

=-

2x

x2+1

=-f（x），
故函数f（x）是奇函数．

点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法，函数的奇偶性，属于基础题．