Question

已知关于x的方程|

x(|x+3|-3)

2-x2

+2a|=a²-3有奇数个解，则a的值为

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：令f（x）=|

x(|x+3|-3)

2-x2

+2a|-a²+3，可化为f（x）=|

x2

2-x2

+2a|-a²+3是偶函数，从而可得f（0）=0，从而解出a．

解答： 解：令f（x）=|

x(|x+3|-3)

2-x2

+2a|-a²+3，
则函数的定义域为（-

2

，

2

），
此时f（x）=|

x(x+3-3)

2-x2

+2a|-a²+3=|

x2

2-x2

+2a|-a²+3，
易知f（x）在（-

2

，

2

）是偶函数，
又∵关于x的方程|

x(|x+3|-3)

2-x2

+2a|=a²-3有奇数个解，
则f（0）=0，即|2a|-a²+3=0，
解得a=±3．
故答案为：±3．

点评：本题考查了方程的根与函数的零点之间的关系，同时考查了偶函数的特征，属于中档题．