Question

经过点F（0，1）且与直线y=-1相切的动圆的圆心轨迹为M．点A、D在轨迹M上，且关于y轴对称，D（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），-x₀＜x₁＜x₀＜x₂，直线BC平行于轨迹M在点D处的切线．
（Ⅰ）求轨迹M的方程；
（Ⅱ）证明：∠BAD=∠CAD．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线的倾斜角

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设动圆圆心为（x，y），由直线与圆相切可得

x2+(y-1)2

=|y+1|，整理即得轨迹M的方程；
（Ⅱ）由题意，要证∠BAD=∠CAD，可证k_AC=-k_AB，设点D（x₀，

1

4

x₀²），则得k_BC=

1

2

x₀，设点C（x₁，

1

4

x₁²），B（x₂，

1

4

x₂²），则k_BC=

1 4 x12- 1 4 x22

x1-x2

=

x1+x2

4

=

1

2

x₀，即x₁+x₂=2x₀，再利用斜率公式可得k_AC+k_AB=0，从而得证．

解答： （Ⅰ）解：设动圆圆心为（x，y），依题意得，

x2+(y-1)2

=|y+1|，整理，得x²=4y．
所以轨迹M的方程为x²=4y．
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得x²=4y，即y=

1

4

x2，则y′=

1

2

x．
设点D（x₀，

1

4

x₀²），由导数的几何意义知，直线的斜率为k_BC=

1

2

x₀，
由题意知点A（-x₀，

1

4

x₀²）．设点C（x₁，

1

4

x₁²），B（x₂，

1

4

x₂²），
则k_BC=

1 4 x12- 1 4 x22

x1-x2

=

x1+x2

4

=

1

2

x₀，即x₁+x₂=2x₀，
同理k_AC=

x1-x0

4

，k_AB=

x2-x0

4

，
所以k_AC+k_AB=

x1-x0

4

+

x2-x0

4

=0，即k_AC=-k_AB，
所以直线AC和直线AB的倾斜角互补，又AD与x轴平行，
所以∠BAD=∠CAD．

点评：本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等．