题目内容
已知△ABC三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且3sin2A+3sin2B=4sinAsinB+3sin2C．（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）若a=3，c=
| 6 |
| CA |
| BC |
考点：余弦定理,平面向量数量积的运算
专题：三角函数的求值
分析：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后再利用余弦定理表示求出sinC的值即可；
（Ⅱ）将a，c的值代入第一问化简的关系式中求出b的值，利用平面向量的数量积运算法则即可求出所求式子的值．
（Ⅱ）将a，c的值代入第一问化简的关系式中求出b的值，利用平面向量的数量积运算法则即可求出所求式子的值．
解答：
解：（Ⅰ）由正弦定理化简3sin2A+3sin2B=4sinAsinB+3sin2C，变形得3a2+3b2-3c2=4ab，即a2+b2-c2=
ab，
∴由余弦定理得：cosC=
=
，
则sinC=
=
；
（Ⅱ）将a=3，c=
代入3a2+3b2-3c2=4ab中，得：9+6-c2=4b，
解得：b=1或b=3，
∵
•
=bacos（π-C）=-abcosC，
∴当b=1时，
•
=-2；当b=3时，
•
=-6．
| 4 |
| 3 |
∴由余弦定理得：cosC=
| a2+b2-c2 |
| 2ab |
| 2 |
| 3 |
则sinC=
| 1-cos2C |
| ||
| 3 |
（Ⅱ）将a=3，c=
| 6 |
解得：b=1或b=3，
∵
| CA |
| BC |
∴当b=1时，
| CA |
| BC |
| CA |
| BC |
点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
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