Question

已知直角坐标系中，圆O的方程为x²+y²=r²（r＞0），两点A（4，0），B（0，4），动点P满足

AP

=λ

AB

（0≤λ≤1）．
（1）求动点P的轨迹C方程；
（2）若对于轨迹C上的任意一点P，总存在过点P的直线l交圆O于M，N两点，且点M是线段PN的中点，求r的取值范围．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设P（x，y），通过

AP

=λ

AB

（0≤λ≤1），得到

x-4=-4λ y=4λ

，即可求出动点P的轨迹C．
（2）设N（x₀，y₀），P（t，4-t），（0≤t≤4），求出M坐标，利用两个圆的交点，推出方程组，求出公共弦方程，转化原方程组有解等价于点（0，0）到直线l：2tx+2（4-t）y+t²+（4-t）²-3r²=0的距离小于或等于r，转化二次函数在区间[0，4]上上的最值问题，即可求解范围．

解答： 解：（1）设P（x，y），
∵

AP

=λ

AB

（0≤λ≤1），
∴

x-4=-4λ y=4λ

  
消去λ并注意到0≤λ≤1可得动点P的轨迹C即为线段AB，
方程为：x+y-4=0 （0≤x≤4）

（2）设N（x₀，y₀），P（t，4-t），（0≤t≤4），
则M（

x0+t

2

，

y0+4-t

2

）
方程组

x02+y02=r2 ( x0+t 2 )2+( y0+4-t 2 )2=r2

即

x02+y02=r2 (x0+t)2+(y0+4-t)2=4r2

有解 
将方程组两式相减得：2tx₀+2（4-t）y₀+t²+（4-t）²-3r²=0  ）
原方程组有解等价于点（0，0）到直线l：2tx+2（4-t）y+t²+（4-t）²-3r²=0的距离小于或等于r，
即

|t2+(4-t)2-3r2|

4t2+4(4-t)2

≤r  
整理得：（2t²+16-8t-3r²）²≤（4t²+4（4-t）²）r²．
即（2t²+16-8t-r²）（2t²-8t+16-9r²）≤0
也就是，r²≤2t²-8t+16≤9r²对任意的0≤t≤4恒成立      
根据二次函数y=2t²-8t+16的图象特征可知，在区间[0，4]上，
当t=0或者t=4时，（2t²-8t+16）_max=16；
当t=2时，（2t²-8t+16）_min=8    
所以

16

9

≤r2≤8，

4

3

≤r≤2

2

  
特别的，当r=2

2

时，圆x²+y²=8与x+y-4=0切于点（2，2），
此时过C上的点P（2，2）没有合乎要求的直线，
故r≠2

2

，
即所求r的范围为[

4

3

，2

2

）．

点评：本题考查轨迹方程的求法，两个圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．