Question

已知等差数列{a_n}的公差大于0，其中a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，数列{b_n}的前n项和为S_n，且Sn=

1-bn

2

（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=a_nb_n，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：Tn≥

1

3

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由二次方程可求得a₃，a₅，由等差数列的通项公式可求得a_n，由b_n=S_n-S_n-1可得数列递推式，可判断{b_n}为等比数列，从而可求；
（Ⅱ）利用错位相减法可求得T_n，通过作差可判断{T_n}为递增数列，从而可得T_n≥T₁，得到结论；

解答： 解：（Ⅰ）∵a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，且数列{a_n}的公差d＞0，
解得a₃=5，a₅=9，则公差d=

a5-a3

5-3

=2．
∴a_n=a₅+（n-5）d=2n-1．
当n=1时，有b₁=S₁=1-

1

2

b1，∴b1=

2

3

，
当n≥2时，有b_n=S_n-S_n-1=

1

2

(bn-1-bn)，
∴3b_n=b_n-1，
∵b1=

2

3

≠0，∴

bn

bn-1

=

1

3

（n≥2）．
∴数列{b_n}是以

2

3

为首项，以

1

3

为公比的等比数列，
∴bn=b1•qn-1=

1

3n

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知c_n=a_n•b_n=

2n-1

3n

，
∴T_n=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

，①

1

3

Tn=

1

32

+

3

33

+

5

34

+…+

2n-3

3n

+

2n-1

3n+1

，②
①-②得

2

3

Tn=

1

3

+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

-

2n-1

3n+1

=

1

3

+2(

1

32

+

1

33

+…+

1

3n

)-

2n-1

3n+1

=

1

3

+2×

1 9 ×[1-( 1 3 )n-1]

1- 1 3

-

2n-1

3n+1

=

2

3

-

2n+2

3n+1

，
∴Tn=1-

n+1

3n

，
∵Tn+1-Tn=-

n+2

3n+1

+

n+1

3n

=

2n+1

3n+1

＞0，
∴{T_n}为递增数列，
∴Tn≥T1=

1

3

．

点评：本题考查等差数列、等比数列的通项公式及数列求和，考查方程思想，考查学生的运算求解能力，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．