Question

如图，点P是半圆C：x²+y²=1（y≥0）上位于x轴上方的任意一点，A、B是直径的两个端点，以AB为一边作正方形ABCD，PC交AB于E，PD交AB于F，求证：BE，EF，FA成等比数列．

Answer 1

考点：等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：根据条件先BE，EF，FA，然后利用等比数列的定义，进行证明即可．

解答： 证明：设P（cosα，sinα），C（-1，-2），D（1，-2），
E（x₁，0），F（x₂，0）．
∵点P、E、C三点共线，
∴

sinα+2

cosα+1

=

2

x1+1

，
∴x₁=

2(cosα+1)

sinα+2

-1．    
由点P、F、D三点共线，
∴

sinα+2

cosα-1

=

2

x2-1

，
∴x₂=

2(cosα-1)

sinα+2

+1．                                    
∴BE=x₁+1=

2(cosα+1)

sinα+2

，EF=x₂-x₁=

2sinα

sinα+2

，FA=

2(cosα-1)

sinα+2

．
∴BE•FA=

2(cosα+1)

sinα+2

×

2(cosα-1)

sinα+2

=

4sin2α

(sinα+2)2

=EF²．
即BE，EF，FA成等比数列．

点评：本题主要考查等比数列的判断，利用条件建立先BE，EF，FA的关系是解决本题的关键，综合性较强，涉及的知识点较大，难度较大．