Question

设f（x）的定义域为（0，+∞），且在（0，+∞）是递增的，f（

x

y

）=f（x）-f（y）．
（1）求证：f（1）=0，f（xy）=f（x）+f（y）；
（2）设f（2）=1，解不等式f（x）-f（

1

x-3

）≤2．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,其他不等式的解法

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）令x=y=1得f（1）=0，则有f(xy)=f(

x

1 y

)=f(x)-f(

1

y

)=f(x)-[f(1)-f(y)]=f(x)+f(y)，（2）由f（

x

y

）=f（x）-f（y）=f（x²-3x），然后可求f（4）=2，转化为不等式求解．

解答： 解：（1）证明：f(

x

y

)=f(x)-f(y)，
令x=y=1，则有：f（1）=f（1）-f（1）=0，
f(xy)=f(

x

1 y

)=f(x)-f(

1

y

)=f(x)-[f(1)-f(y)]=f(x)+f(y)．
（2）∵f(x)-f(

1

x-3

)=f(x)-[f(1)-f(x-3)]=f（x）+f（x-3）=f（x²-3x），
∵2=2×1=2f（2）=f（2）+f（2）=f（4），
∴f（x）-f（

1

x-3

）≤2等价于：f（x²-3x）≤f（4）①，
且x＞0，x-3＞0（由f（x）定义域为（0，+∞）可得），
∵x（x-3）=x²-3x＞0，4＞0，
又f（x）在（0，+∞）上为增函数，
∴①?x²-3x≤4⇒-1≤x≤4，又x＞3，
∴原不等式的解集为；{x|3＜x≤4}．

点评：本题考查抽象函数，抓住解题关键f（

x

y

）=f（x）-f（y）．利用取特值求解．