Question

以下正确命题的个数为（　　）
①命题“存在x∈R，x²-x-2≥0”的否定是：“不存在x∈R，x²-x-2＜0”；
②函数f（x）=x 

1

3

-（

1

2

）^x的零点在区间（

1

3

，

1

2

）内；
③已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ²），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤-2）=0.21；
④函数f（x）=e^-x-e^x的图象的切线的斜率的最大值是-2；
⑤线性回归直线

y

=

b

x+

a

恒过样本中心（

.

x

，

.

y

），且至少过一个样本点．

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①写出命题“存在x∈R，x²-x-2≥0”的否定可判断①；
②利用零点存在定理可得f（

1

3

）•f（

1

2

）＜0，可判断②；
③随机变量ξ服从正态分布N（1，σ²），且P（ξ≤4）=0.79，利用正态密度曲线的性质可求得P（ξ≤-2）的值，可判断③；
④求得函数f（x）=e^-x-e^x的导函数f′（x）=-e^-x-e^x=-（e^-x+e^x）≤-2，可判断④；
⑤利用线性回归直线

y

=

b

x+

a

恒过样本中心（

.

x

，

.

y

）的特点，不一定过任何一个样本点可判断⑤．

解答： 解：①命题“存在x∈R，x²-x-2≥0”的否定是：“?x∈R，x²-x-2＜0”，故①错误；
②∵f（x）=x 

1

3

-（

1

2

）^x，f′（x）=

1

3

x-

2

3

+（

1

2

）^xln2＞0，
∴f（x）为增函数，
又f（

1

3

）=(

1

3

)

1

3

-(

1

2

)

1

3

＜0，f（

1

2

）=(

1

2

)

1

3

-(

1

2

)

1

2

＞0，即f（

1

3

）•f（

1

2

）＜0，
∴零点在区间（

1

3

，

1

2

）内，故②正确；
③随机变量ξ服从正态分布N（1，σ²），∵P（ξ≤4）=0.79，
∴P（ξ≥4）=P（ξ≤-2）=1-P（ξ≤4）=1-0.79=0.21，故③正确；
④∵f（x）=e^-x-e^x，
∴函数f（x）=e^-x-e^x的图象的切线的斜率k=f′（x）=-e^-x-e^x=-（e^-x+e^x）≤-2，
即切线的斜率的最大值是-2，故④正确；
⑤线性回归直线

y

=

b

x+

a

恒过样本中心（

.

x

，

.

y

），可能不过任何一个样本点，故⑤错误．
综上所述，正确命题的个数为3个，
故选：C．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查零点存在定理的应用，考查指数函数的单调性、导数的集合意义、正态密度曲线、回归分析及全称命题与特称命题的应用，基本知识的考查．