Question

四棱锥P-ABCD如图放置，AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=PD=1，△PAB为等边三角形．
（Ⅰ）证明：PD⊥面PAB；
（Ⅱ）求二面角P-CB-A的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明PD⊥PA，PD⊥PB，利用直线与平面垂直的判定定理证明PD⊥面PAB．
（Ⅱ）取AB中点M，连PM，DM，作PN⊥DM，垂足为N，再作NH⊥BC，连HN．说明∠NHP二面角P-CB-A的平面角．
在△NHP中，求解二面角A-PB-C的平面角的余弦值即可．

解答： 解：（Ⅰ）证明：易知在梯形ABCD中，AD=

5

，而PD=1，AP=2，则PD⊥PA
同理PD⊥PB，故PD⊥面PAB；…（6分）
（Ⅱ）取AB中点M，连PM，DM，
作PN⊥DM，垂足为N，再作NH⊥BC，连HN．
易得AB⊥面DPM，则面ABCD⊥面DPM
于是PN⊥面ABCD，BC⊥面NPH
即∠NHP二面角P-CB-A的平面角．
在△NHP中，PN=

3

2

，PH=

7

2

，NH=1，∴cos∠NHP=

2 7

7

，
故二面角A-PB-C的平面角的余弦值为

2 7

7

…（14分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．