Question

求函数f（x）=

2

sin（x-α）+cos（x+β）的最大值．

Answer 1

考点：三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：运用两角和差的正弦和余弦公式，结合辅助角公式，化简f（x），再由正弦函数的值域，即可得到最大值．

解答： 解：f（x）=

2

sin（x-α）+cos（x+β）
=

2

sinxcosα-

2

cosxsinα+cosxcosβ-sinxsinβ
=sinx（

2

cosα-sinβ）+cosx（cosβ-

2

sinα）
=

( 2 cosα-sinβ)2+(cosβ- 2 sinα)2

sin（x+θ）（θ为辅助角）
=

2+1-2 2 (sinαcosβ+cosαsinβ)

sin（x+θ）
=

3-2 2 sin(α+β)

sin（x+θ）．
则当sin（x+θ）=1，f（x）取得最大值，且为

3-2 2 sin(α+β)

．

点评：本题考查三角函数的化简和求最值，考查两角和的余弦公式和差的正弦公式，考查辅助角公式及正弦函数的值域，属于中档题．