Question

已知函数f（x）=（x-x²）（x²+ax+b）（x∈R），若f（x-1）是偶函数，则f（x）的值域是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x-1）是偶函数，可得：函数f（x）的图象关于直线x=-1对称，则f（-2）=f（0），且f（-3）=f（1），进而求出a，b的值后，得到f（x）的解析式，利用导数法分析函数的单调性，进而可得f（x）的值域．

解答： 解：∵f（x-1）是偶函数，
∴函数f（x）的图象关于直线x=-1对称，
则f（-2）=f（0），且f（-3）=f（1），
即-6（4-2a+b）=0且-9（9-3a+b）=0，
解得：a=5，b=6，
∴函数f（x）=（x-x²）（x²+5x+6）=-x⁴-4x³-x²+6x，
∴f′（x）=-4x³-12x²-2x+6=-2（x+1）（x+1-

10

2

）（x+1+

10

2

），
∵当x∈（-∞，-1-

10

2

）∪（-1，-1+

10

2

）时，f′（x）＜0，此时函数为减函数，
当x∈（-1-

10

2

，-1）∪（-1+

10

2

，+∞）时，f′（x）＞0，此时函数为增函数，
故当x=∈-1±

10

2

时，函数f（x）取最小值

9

4

，无最大值．
故f（x）的值域是[

9

4

，+∞），
故答案为：[

9

4

，+∞）

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性的性质，函数的值域，导数法分析函数的单调性，导数法求函数的最值，难度较大．