Question

已知定义域为R的函数f（x）=

2x-b

2x+1+a

是奇函数；
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求不等式f（x）＞-

3

10

的取值集合．

Answer 1

考点：指、对数不等式的解法,函数解析式的求解及常用方法,函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由奇函数的性质，f（0）=0，f（-1）=-f（1），得到a，b的方程，即可得到f（x）；
（2）解关于x的指数不等式，注意运用指数函数的单调性，即可得到．

解答： 解：（1）由于定义域为R的函数f（x）=

2x-b

2x+1+a

是奇函数，
则f（0）=0，即有1-b=0，即b=1，
再由f（-1）=-f（1），即有

2-1-1

20+a

=-

2-1

22+a

，解得，a=2，
即有f（x）=

2x-1

2x+1+2

，f（-x）=

2-x-1

2(2-x+1)

=

1-2x

2(1+2x)

=-f（x），
则f（x）是奇函数，
则有f（x）=

2x-1

2x+1+2

；
（2）不等式f（x）＞-

3

10

即为

2x-1

2x+1

＞-

3

5

，
即为2^x＞

1

4

，即有x＞-2．
则所求x的取值集合为{x|x＞-2}．

点评：本题考查函数的奇偶性的判断和运用，考查奇函数的性质，考查指数不等式的解法，属于基础题．