Question

设函数f（x）=x²-mlnx，h（x）=x²-x+a．
（Ⅰ）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数m，使函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,利用导数研究函数的单调性

专题：

分析：（Ⅰ）通过A=0，f（x）≥h（x），化简为m≤

x

lnx

，构造φ（x）=

x

lnx

，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立等价于m≤φ（x）_min．通过新函数的导数求解新函数的最值即可．
（Ⅱ）存在m=

1

2

，使得函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性．
求出f′（x）_min，请查收的定义域，通过m≤0，m＞0，分别求出函数的导数，判断函数的单调性，求出函数的最值，然后判断即可．

解答： 解：（Ⅰ）由A=0，f（x）≥h（x）可得m≤

x

lnx

，
记φ（x）=

x

lnx

，则f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立等价于m≤φ（x）_min．
求得φ′（x）=

lnx-1

ln2x

 
当x∈（1，e）时；φ′（x）＜0；
当x∈（e，+∞）时；φ′（x）＞0．
故φ（x）在x=e处取得极小值，也是最小值，
即φ（x）_min=φ（e）=e，故m≤e．---------（7分）
（Ⅱ）存在m=

1

2

，使得函数f（x）和函数h（x）在公共定义域上具有相同的单调性
f′（x）_min=2x-

m

x

=

2x2-m

x

，函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
若m≤0，则f′（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，不合题意；
若m＞0，由f′（x）＞0可得2x²-m＞0，解得x＞

m 2

或x＜-

m 2

（舍去）
故m＞0时，函数的单调递增区间为（

m 2

，+∞）单调递减区间为（0，

m 2

）
而h（x）在（0，+∞）上的单调递减区间是（0，

1

2

），单调递增区间是（

1

2

，+∞）
故只需

m 2

=

1

2

，解之得m=

1

2

即当m=

1

2

时，函数f（x）和函数h（x）在其公共定义域上具有相同的单调性．┉（14分）

点评：本题考查函数的导数的应用，函数的最值以及函数的单调性的判断，构造函数是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．