Question

（文科学生做）若函数f（x）对任意x₁，x₂∈D，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，则称f（x）为D上的“收缩”函数
（1）判断函数f(x)=

1

4

x2+

1

2

x在[-1，1]上是否是“收缩”函数，并说明理由；
（2）函数f(x)=

k

x+2

(k∈R)，
    （i）讨论函数f(x)=

k

x+2

(k∈R)在x∈[-1，+∞）的单调性，并用定义证明；
   （ii）是否存在k∈R，使得f(x)=

k

x+2

在[-1，+∞）上为“收缩”函数，若存在，求k的范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：（1）任取x₁，x₂∈[-1，1]，由不等式的性质可证|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|，可证为“收缩”函数；（2）（i）任取x₁，x₂∈[-1，+∞），作差可得f（x₁）-f（x₂）=k

x2-x1

(x1+2)(x2+2)

，由题意讨论k的范围，结合单调性的定义可得结论；（ii）假设存在k∈R，使得f(x)=

k

x+2

在[-1，+∞）上为“收缩”函数，则满足对任意x₁，x₂∈[-1，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，化为k的不等式可解范围．

解答： 解：（1）任取x₁，x₂∈[-1，1]，可得|f（x₁）-f（x₂）|
=|（

1

4

x12+

1

2

x1）-（

1

4

x22+

1

2

x2）|
=|

1

4

（x₁+x₂）（x₁-x₂）+

1

2

（x₁-x₂）|
=|x₁-x₂||

1

4

（x₁+x₂）+

1

2

|
∵x₁，x₂∈[-1，1]，∴

1

4

（x₁+x₂）∈[-

1

2

，

1

2

]，
∴

1

4

（x₁+x₂）+

1

2

|∈[0，1]，即|

1

4

（x₁+x₂）+

1

2

|≤1，
∴|x₁-x₂||

1

4

（x₁+x₂）+

1

2

|≤|x₁-x₂|
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|
∴函数f(x)=

1

4

x2+

1

2

x在[-1，1]上是“收缩”函数；
（2）（i）任取x₁，x₂∈[-1，+∞），
则f（x₁）-f（x₂）=

k

x1+2

-

k

x2+2

=k

x2-x1

(x1+2)(x2+2)

，
∵x₁，x₂∈[-1，+∞），∴（x₁+2）（x₂+2）＞0，x₂-x₁＞0，
∴

x2-x1

(x1+2)(x2+2)

＞0，
当k=0时，函数为常函数，
当k＞0时，f（x₁）＞f（x₂），函数单调递减，
当k＜0时，f（x₁）＜f（x₂），函数单调递增；
（ii）假设存在k∈R，使得f(x)=

k

x+2

在[-1，+∞）上为“收缩”函数，
则满足对任意x₁，x₂∈[-1，+∞），都有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，
故|

k

x1+2

-

k

x2+2

|=|k||

x2-x1

(x1+2)(x2+2)

|≤|x₁-x₂|，
∴|k|≤|（x₁+2）（x₂+2）|，
∵x₁，x₂∈[-1，+∞），∴（x₁+2）（x₂+2）＞1，
∴|k|≤1，解得-1＜k＜1

点评：本题考查新定义，涉及函数的单调性的证明和不等式的性质，属中档题．