Question

已知函数f（x）=|x-1|．
（Ⅰ）解不等式f（x-1）+f（x+3）≥6；
（Ⅱ）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f(ab)＞|a|f(

b

a

)．

Answer 1

考点：不等式的证明,绝对值不等式,绝对值不等式的解法

专题：不等式

分析：（Ⅰ）根据绝对值不等式的解法解不等式f（x-1）+f（x+3）≥6即可；
（Ⅱ）利用分析法　进行证明不等式．

解答： 解：（ I）∵f（x）=|x-1|．
∴不等式f（x-1）+f（x+3）≥6等价|x-2|+|x+2|≥6，
若当x≥2时，不等式等价为x-2+x+2≥6，
即2x≥6，解得x≥3．
当-2＜x＜2时，不等式等价为2-x+x+2≥6，
即4≥6，此时不成立．
当x≤-2时，不等式等价为2-x-x-2≥6，
即2x≤-6，即x≤-3．
综上不等式的解集为（-∞，-3]∪[3，+∞）．
（ II）要证f(ab)＞|a|f(

b

a

)，
只需证|ab-1|＞|b-a|，
只需证（ab-1）²＞（b-a）²
而（ab-1）²-（b-a）²=a²b²-a²-b²+1=（a²-1）（b²-1）＞0，
∵|a|＜1，|b|＜1，
∴a²＜1，b²＜1，
即a²-1＜0，b²-1＜0，
即（a²-1）（b²-1）＞0，成立，
从而原不等式成立．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，要注意进行分段讨论．