Question

14．已知定义在R上的函数$f（x）=\frac{1}{3}a{x^3}+{x^2}+ax+1$既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• B． [-1，0）∪（0，1]
• C． （-1，1）
• D． （-1，0）∪（0，1）

Answer 1

分析 求出函数的导数，根据函数极值的意义得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：f′（x）=ax²+2x+a，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{a≠0}\\{△=4-{4a}^{2}＞0}\end{array}\right.$，
解得：a∈（-1，0）∪（0，1），
故选：D．

点评 本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道中档题．