Question

椭圆的两焦点坐标分别为F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），且椭圆过点P（1，-

3

2

）．
（1）求椭圆方程；
（2）若 A为椭圆的左顶点，作AM⊥AN与椭圆交于两点M、N，试问：直线MN是否恒过x轴上的一个定点？若是，求出该点坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），先求出c=

3

，b²=1，a²=4，从而可得椭圆方程；
（2）由已知直线MN与y轴不垂直，假设其过定点T（a，0），设其方程为x=my+a，得（m²+4）y²+2amy+a²-4=0；设M（x₁，y₁），N（x₂y₂），有

AM

•

AN

=0，即（x₁+2，y₁）•（x₂+2）=0，整理得a=-

6

5

，故直线MN过定点T(-

6

5

，0)．

解答： 解：（1）设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵椭圆的两焦点坐标分别为F₁（-

3

，0），F₂（

3

，0），且椭圆过点P（1，-

3

2

）．
∴

c= 3 1 a2 + 3 4b2 =1 a2=b2+c2

，解得c=

3

，b²=1，a²=4．
∴椭圆方程为

x2

4

+y²=1．
（2）由已知直线MN与y轴不垂直，假设其过定点T（a，0），设其方程为x=my+a
由

x=my+a x2 4 +y2=1

得（m²+4）y²+2amy+a²-4=0
设M（x₁，y₁），N（x₂y₂），则y1+y2=-

2am

m2+4

y1•y2=

a2-4

m2+4

∴x₁+x₂=my₁+a+my₂+a=m（y₁+y₂）+2ax1•x2=(my1+a)(my2+a)=m2y1y2+am(y1+y2)+a2
∵AM⊥AN，∴

AM

•

AN

=0，即（x₁+2，y₁）•（x₂+2）=0
∴x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=0
∴(m2+1)y1y2+m(a+2)(y1+y2)+(a+2)2=0
即

(m2+1)(a+2)(a-2)

m2+4

-

2am2(a+2)

m2+4

+(a+2)2=0
若a=-2，则T与A重合，不合题意，∴a+2≠0，整理得a=-

6

5

综上，直线MN过定点T(-

6

5

，0)．

点评：本题考查了抛物线的性质、方程，考查了直线与抛物线的位置关系，运算量较大，综合性较强，属于难题．