题目内容

如图，O为总信号源点，A，B，C是三个居民区，已知A，B都在O的正东方向上，OA=10km，OB=20km，C在O的北偏西45°方向上，CO=5
2
km．
（1）求居民区A与C的距离；
（2）现要经过点O铺设一条总光缆直线EF（E在直线OA的上方），并从A，B，C分别铺设三条最短分光缆连接到总光缆EF．假设铺设每条分光缆的费用与其长度的平方成正比，比例系数为m（m为常数）．设∠AOE=θ（0≤θ＜π），铺设三条分光缆的总费用为w（元）．
①求w关于θ的函数表达式；
②求w的最小值及此时tanθ的值．
考点：解三角形的实际应用
专题：应用题,解三角形
分析：（1）以点O位坐标原点，OA为x轴建立直角坐标系，求出A，C的坐标，即可求居民区A与C的距离；
（2）①分类讨论，求出铺设三条分光缆的总费用，即可求w关于θ的函数表达式；
②换元，利用基本不等式，可求w的最小值及此时tanθ的值．
解答： 解：（1）以点O位坐标原点，OA为x轴建立直角坐标系，则A（10，0），B（20，0），C（-5，5），
∴AC=
(10+5)2+52
=5
10
；
（2）①当直线l的斜率存在时，设l：y=kx，k=tanθ，
则w=m[
(10k)2
k2+1
+
(20k)2
k2+1
+
(-5k-5)2
k2+1
]=m•
525k2+50k+25
k2+1
；
直线l的斜率不存在时，w=m（100+400+25）=525m，
综上，w=
m•
525tan2θ+50tanθ+25
tan2θ+1
(0≤θ＜π，θ≠
π
2
)
525m(θ=
π
2
)

②直线l的斜率不存在时，w=m（100+400+25）=525m；
当直线l的斜率存在时，w=m•
525k2+50k+25
k2+1

令t=k-10，则t=0时，w=525m；
t≠0时，w=525m+m•
50
t+
101
t
+20

∵t+
101
t
≤-2
101
，或t+
101
t
≥2
101
，
∴w的最小值为525m+m•
50
20-2
101
=（275-25
101
）m，
此时，t=-
101
，tanθ=k=10-
101
．
点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查函数模型的建立，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
二次函数y=ax2+bx与指数函数y=（-
b
a
）x的图象只可能是（　　）
A、
B、
C、
D、
从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布图如下：
分数（重量） [120，125） [125，130） [130，135） [135，140]
频数（个） 5 15 20 10
（1）用分层抽样的方法从重量在[120，125）和[135，140）的苹果中共抽取6个，其重量在[120，125）的有几个？
（2）在（1）中抽出的6个苹果中，任取2个，求重量在[120，125）和[135，140）重各有1的概率．
已知函数f（x）=（-x2-mx-m）e-x（m∈R）．
（Ⅰ）求f′（x）；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间．
已知f（x）=6cos2
ωx
2
+
3
sinωx-3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）当x∈[0，2]时，求函数f（x）的值域；
（Ⅲ）若f（x0）=
6
3
5
，且x0∈（-
10
3
，
2
3
），求f（x0-1）．
已知函数f（x）=Asin（ωx+
π
6
）（x∈R，A＞0，ω＞0）的最小正周期为T=6π，且f（2π）=2
（1）求ω和A的值；
（2）设α，β∈[0，
π
2
]，f（3α+π）=
16
5
，f（3β+
5π
2
）=-
20
13
；求cos（α-β）的值．
在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足A=B+30°．
（1）若c=1，b=sinB，求B．
（2）若a2+c2-
1
2
ac=b2，求sinA的值．
某企业通过调查问卷（满分50分）的形式对本企业900名员土的工作满意度进行调查，并随机抽取了其中30名员工（16名女员工，14名男员工）的得分，如下表：
女 47 36 32 48 34 44 43 47 46 41 43 42 50 43 35 49
男 37 35 34 43 46 36 38 40 39 32 48 33 40 34    
（1）根据以上数据，估计该企业得分大于45分的员工人数；
（2）现用计算器求得这30名员工的平均得分为40.5分，若规定大于平均得分为‘满意’，否则为“不满意”，请完成下列表格：
  “满意”的人数 “不满意”人数 合计
女     16
男     14
合计     30
〔3）根据上述表中数据，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为该企业员工“性别”与“工作是否满意”有关？参考数据：
P（K2≥k） 0.10 0.050 0.025 0.010 0.001
k 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
如图，矩形OABC内阴影部分是由曲线f（x）=sinx（x∈（0，π）及直线x=a（a∈（0，π）与x轴围成，向矩形OABC内随机的投掷一点，若落在阴影部分的概率为
1
4
，则a的值是
 
．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网