Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+

π

6

）（x∈R，A＞0，ω＞0）的最小正周期为T=6π，且f（2π）=2
（1）求ω和A的值；
（2）设α，β∈[0，

π

2

]，f（3α+π）=

16

5

，f（3β+

5π

2

）=-

20

13

；求cos（α-β）的值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）通过函数的周期求出ω，利用f（2π）=2即可求出A的值；
（2）通过α，β∈[0，

π

2

]，f（3α+π）=

16

5

，f（3β+

5π

2

）=-

20

13

；分别求出cosα，cosβ，sinα，sinβ，然后利用两角和与差的三角函数直接求cos（α-β）的值．

解答： 解：（1）依题意得ω=

2π

T

=

2π

6π

=

1

3

，
∴函数f（x）=Asin（

x

3

+

π

6

）     （2分）
由f（2π）=2得Asin（

2π

3

+

π

6

）=2，
即 Asin

5π

6

=2，
∴A=4          （4分）
∴函数f（x）=4sin（

x

3

+

π

6

）             （5分）
（2）由f（3α+π）=

16

5

，得4sin[

1

3

(3α+π)+

π

6

]=

16

5

，
即4sin（α+

π

2

）=

16

5

．
∴cosα=

4

5

，（6分）
又∵α∈[0，

π

2

]，∴sinα=

3

5

．（7分）
由f（3β+

5π

2

）=-

20

13

得4sin[

1

3

(3β+

5π

2

)+

π

6

]=-

20

13

，即sin（β+π）=-

5

13

，
∴sinβ=

5

13

，（9分）
又∵β∈[0，

π

2

]，
∴cosβ=

12

13

                       （10分）
cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=

4

5

×

12

13

+

3

5

×

5

13

=

63

65

．（12分）

点评：本题考查两角和与差的三角函数，函数的解析式的求法，考查计算能力．