Question

如图，在半径为R的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱体积的最大值是

 

．

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：空间位置关系与距离

分析：设这个圆柱的高为h，可得这个圆柱的体积V=π（-h³+R²h）．利用导数研究函数的单调性，得V在（0，

R

3

R）上是增函数，在（

R

3

R，R）上是减函数，由此可得当h=

R

3

R时，圆柱的体积取最大值．

解答： 解：设圆柱的底面半径为r，高为h，
则r²+h²=R²，
设圆柱的体积设为V，
则V=πr²•h=π（R²-h²）•h=πR²h-πh³，
∴V′=πR²-3πh²．
令V′=0得h=

R

3

，
易知此时V取得最大值，最大值为

2 3

9

πR³．
故答案为：

2 3

9

πR³

点评：本题给出半球，求其内接圆柱的体积最大值，着重考查了球内接多面体、圆柱体积公式和利用导数研究函数的最值等知识，属于中档题．