Question

已知x＞0，y＞0，且

2

x

+

1

y

=1，若x+2y+1≥k²恒成立，则k的范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：根据基本不等式求出x+2y+1的最小值即可得到结论．

解答： 解：∵

2

x

+

1

y

=1，
x+2y=（x+2y）（

2

x

+

1

y

）=2+2+

4y

x

+

x

y

≥4+2

4y x • x y

=4+4=8，
当且仅当

4y

x

=

x

y

，即x=2y，即x=4，y=2时取等号，
故x+2y的最小值为8，x+2y+1的最小值为9，
要使x+2y+1≥k²恒成立，则9≥k²恒成立，
解得-3≤k≤3，
故答案为：[-3，3]

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，根据基本不等式求出x+2y+1的最小值是解决本题的关键．