Question

13．△ABC中，D为线段BC的中点，AB=2AC=2，tan∠CAD=sin∠BAC，则BC=$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设∠CAD=α，∠BAD=β，则∠CAB=α+β．则有$\frac{CD}{sinα}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，$\frac{DB}{sinβ}=\frac{AB}{sin∠ADB}$，且sin∠ADC=sin∠ADB，AB=2AC，可得sinα=2sinβ．
从而可得2sinβ=sin（α+β）•cosα，2sin[（α+β）-α]=sin（α+β）•cosα，
可得sin（α+β）=2cos（α+β）•tanα，又因为tanα=sin（α+β），化简得2cos（α+β）=1，故$cos（{α+β}）=\frac{1}{2}$．所以BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos（α+β）=3，可求得BC．

解答 解：如图，设∠CAD=α，∠BAD=β，则∠CAB=α+β．
则有$\frac{CD}{sinα}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，$\frac{DB}{sinβ}=\frac{AB}{sin∠ADB}$，且sin∠ADC=sin∠ADB，AB=2AC，可得sinα=2sinβ．
由题意知tan∠CAD=sin∠CAB，即tanα=sin（α+β）．
切化弦可得$\frac{sinα}{cosα}=sin（{α+β}）$，
故sinα=sin（α+β）•cosα，从而可得2sinβ=sin（α+β）•cosα，
利用角的变形可得2sin[（α+β）-α]=sin（α+β）•cosα，
展开得sin（α+β）•cosα=2cos（α+β）•sinα，两边同除以cosα（cosα≠0）
可得sin（α+β）=2cos（α+β）•tanα，又因为tanα=sin（α+β），
化简得2cos（α+β）=1，故$cos（{α+β}）=\frac{1}{2}$．
所以BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos（α+β）=3，故$BC=\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$

点评 本题考查了三角恒等变形，正余弦定理的应用，考查了运算能力，属于中档题．