Question

12．已知圆O₁：x²+2x+y²=0，圆O₂：x²-2x+y²-8=0，动圆P与圆O₁外切且和圆O₂内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点（1，$\frac{1}{2}$）作直线l交曲线C于A、B两点，且点M恰好为弦AB的中点，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由圆的位置关系可知|PO₁|+|PO₂|=4，故而曲线C为以O₁，O₂为焦点的椭圆，根据椭圆的定义得出曲线C的方程；
（2）联立方程组，根据根与系数的关系列方程求出斜率k即可得出直线l的方程．

解答 解：（1）圆O₁的圆心为O₁（-1，0），半径r₁=1，
圆O₂的圆心为O₂（1，0），半径为r₂=3，
∵动圆P与圆O₁外切且和圆O₂内切，
∴动圆P的半径r=|PO₁|-r₁=r₂-|PO₂|，
即|PO₁|+|PO₂|=4，
∴P点轨迹是以O₁，O₂为焦点的椭圆，
∴P点轨迹曲线C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）设直线l斜率为k，则直线l的方程为：y=k（x-1）+$\frac{1}{2}$，
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）+\frac{1}{2}}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消元得：（3+4k²）x²+4k（1-2k）x+（2k-1）²-12=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{4k（2k-1）}{3+4{k}^{2}}$=2，
解得k=-$\frac{3}{2}$．
∴直线l的方程为y=-$\frac{3}{2}$（x-1）+$\frac{1}{2}$，即3x+2y-4=0．

点评 本题考查了圆的位置关系，椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．