Question

9．在统计学中，偏差是指个别测定值与测定的平均值之差，在成绩统计中，我们把某个同学的某科考试成绩与该科班平均分的差叫某科偏差，班主任为了了解个别学生的偏科情况，对学生数学偏差x（单位：分）与物理偏差y（单位：分）之间的关系进行学科偏差分析，决定从全班56位同学中随机抽取一个容量为8的样本进行分析，得到他们的两科成绩偏差数据如下：

学生序号	1	2	3	4	5	6	7	8
数学偏差x	20	15	13	3	2	-5	-10	-18
物理偏差y	6.5	3.5	3.5	1.5	0.5	-0.5	-2.5	-3.5

（1）已知x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）若这次考试该班数学平均分为118分，物理平均分为90.5，试预测数学成绩126分的同学的物理成绩．
参考公式：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\stackrel{∧}{y}$-$\stackrel{∧}{b}$x，
参考数据：$\sum_{i=1}^8{{x_i}{y_i}}$=324，$\sum_{i=1}^8{x_i^2}$=1256．

Answer 1

分析 （1）由题意，计算平均数和回归系数，写出线性回归方程；
（2）由题意，设出该同学的物理成绩，写出物理偏差和数学偏差，
利用回归服从求出这位同学的物理成绩．

解答 解：（1）由题意，计算$\overline x=\frac{{20+15+13+3+2+（{-5}）+（{-10}）+（{-18}）}}{8}=\frac{5}{2}$，
$\overline y=\frac{{6.5+3.5+1.5+0.5+（{-0.5}）+（{-2.5}）+（{-3.5}）}}{8}=\frac{9}{8}$，
回归系数$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^8{{x_i}{y_i}-n\overline{xy}}}}{{{{\sum_{i=1}^8{x_i^2-n\overline x}}^2}}}=\frac{{324-8×\frac{5}{2}×\frac{9}{8}}}{{1256-8×{{（{\frac{5}{2}}）}^2}}}=\frac{1}{4}$，
所以$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=\frac{9}{8}-\frac{1}{4}×\frac{5}{2}=\frac{1}{2}$，
所以线性回归方程为$\hat y=\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}$；
（2）由题意，设该同学的物理成绩为ω，
则物理偏差为：ω-90.5；
而数学偏差为126-118=8，
则（Ⅰ）的结论可得，$ω-90.5=\frac{1}{4}×8+\frac{1}{2}$，解得ω=93，
所以，可以预测这位同学的物理成绩为93分．

点评 本题考查了线性回归方程的求法和应用问题，是中档题．