Question

已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）的定义域为R
（1）当θ=

π

2

时，求函数f（x）的单调递减区间；
（2）若θ∈（0，π），求当θ为何值时f（x）为偶函数．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）先利用两角和公式对函数解析式化简整理，根据三角函数的性质求得函数的单调增区间．
（2）先把函数转换为关于余弦的函数，进而根据诱导公式求得θ的值．

解答： 解：（1）f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）=

2

sin（x+θ+

π

4

），
当θ=

π

2

时，f（x）=

2

sin（x+

3π

4

），
当2kπ+

π

2

≤x+

3π

4

≤2kπ+

3π

2

时，k∈Z，
2kπ-

π

2

≤x≤2kπ+

3π

4

，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递减区间[2kπ-

π

2

，2kπ+

3π

4

]（k∈Z）．
（2）f（x）=

2

sin（x+θ+

π

4

）=

2

cos（

π

2

-x-θ-

π

2

）=

2

cos（x+θ-

π

4

），
故要使函数为偶函数，则θ-

π

4

=kπ，即θ=kπ+

π

4

，
∵θ∈（0，π），
∴θ=

π

4

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的图象和性质．要求学生对三角函数基础知识熟练掌握．