Question

试讨论函数f（x）=

x

x2+1

的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：分类讨论,函数的性质及应用

分析：讨论x＞0时，f（x）的单调性与x＜0时，f（x）的单调性即可．

解答： 解：∵x＞0时，f（x）=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

≤

1

2 x• 1 x

=

1

2

，
当且仅当x=1时“=”成立；
∴在x∈（0，1）时，f（x）是增函数，x∈（1，+∞）时，f（x）是减函数；
当x＜0时，f（x）=

x

x2+1

=

1

x+ 1 x

≥

1

-2 (-x)• 1 -x

=-

1

2

，
当且仅当x=-1时“=”成立；
∴在x∈（-∞，-1）时，f（x）是减函数，x∈（-1，0）时，f（x）是增函数；
x=0时，f（0）=0；
如图所示；
综上，当x∈（-∞，-1）和x∈（1，+∞）时，f（x）是减函数；
当x∈（-1，0）和x∈（0，1）时，f（x）是增函数．

点评：本题考查了函数的单调性问题，解题时应用分类讨论的方法，结合基本不等式，并且画出图形，便于解得问题，是基础题．