Question

已知等差数列{a_n}单调递增，a₁=1，且a₂，a₃+4，2a₇+1构成等比数列．
（1）求数列{a_n}的公差d；
（2）设数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜2（n∈N，且n＞1）．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等比关系的确定,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由等差数列的通项公式和等比数列的性质，即可求出公差，注意公差大于0；
（2）求出前n项和S_n=n²，得到

1

Sn

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

（n＞1），再求和即可证得，注意n的取值．

解答： （1）解：∵等差数列{a_n}单调递增，∴a_n=a₁+（n-1）d（d＞0）
∵a₂，a₃+4，2a₇+1构成等比数列．∴a₂（2a₇+1）=（a₃+4）²，
即（1+d）（3+12d）=（5+2d）²，解得d=2（负值舍去）
数列{a_n}的公差d为2；
（2）证明：∵S_n=na₁+

1

2

n（n-1）d=n+n（n-1）=n²，
∴

1

Sn

=

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

（n＞1）
∴

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜1+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

＜2（n∈N，且n＞1）．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项和性质，以及等差数列的求和公式，放缩法证明不等式，同时考查运用裂项相消求数列的和，注意n的取值．