Question

双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线均与x²+y²-4x+1=0相切，则该双曲线离心率等于

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据圆方程，得到圆心与半径，圆x²+y²-4x+1=0与渐近线相切，说明C到渐近线的距离等于半径，再根据双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式，即可得出该双曲线的离心率．

解答： 解：圆x²+y²-4x+1=0可化为（x-2）²+y²=3，
∴圆心坐标C（2，0），半径为

3

，
∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线方程为bx±ay=0，渐近线和圆x²+y²-4x+1=0相切，
∴

|2b|

a2+b2

=

3

，
∴b²=3a²，
∴c²=4a²，
∴双曲线的离心率为e=2．
故答案为：2．

点评：本题给出双曲线的渐近线与已知圆相切，求双曲线的离心率，着重考查了直线与圆的位置关系和双曲线的简单性质等知识，属于基础题．