Question

设偶函数y=f（x），对任意实数x∈R都有f（x）=f（x+4），当x∈[0，4]时，函数f（x）=ax²+x+b²-b-

11

4

（a∈R，b∈R），且当x∈[0，1]时，f（x）＜0恒成立，则b的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由已知可得f（0）=f（4），解得a，再利用二次函数的单调性与当x∈[0，1]时，f（x）＜0恒成立，即可得出．

解答： 解：∵对任意实数x∈R都有f（x）=f（x+4），当x∈[0，4]时，函数f（x）=ax²+x+b²-b-

11

4

．
∴f（0）=f（4），解得a=-

1

4

．
代入有f（x）=-

1

4

x2+x+b2-b-

11

4

．
∵当x∈[0，1]时，f（x）＜0恒成立，
∴f（1）＜0，化为

3

4

+b2-b-

11

4

＜0，即b²-b-2＜0，解得-1＜b＜2．
故答案为：（-1，2）．

点评：本题考查了二次函数的单调性、函数的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．