Question

已知：二次函数y=-2x²+5x+12，求：
（1）抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）当y=0，y＞0，y＜0时，对应的x的取值范围；
（3）当y＞15时，x的范围；
（4）当x∈[0，2]时，y的最大值和最小值；
（5）当x∈[3，4]时，y的最大值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）首先把二次函数的一般式转化成顶点式，进一步求出开口方向，对称轴和顶点坐标．
（2）解一元二次方程和一元二次不等式
（3）解一元二次不等式．
（4）在闭区间内求函数的最值．
（5）在闭区间内求函数的最大值，要注意函数在区间内的单调性．

解答： 解：（1）二次函数y=-2x²+5x+12=-2(x-

5

4

)2+

121

8

∴抛物线的开口方向向下、对称轴方程：x=

5

4

、顶点坐标：(

5

4

，

121

8

)
（2）①当y=0时，即-2x²+5x+12=0解得：x=-

3

2

或4
②当y＞0时，即-2x²+5x+12＞0解得：-

3

2

＜x＜4
③当y＜0时，即-2x²+5x+12＜0解得：x＜-

3

2

或x＞4
（3）当y＞15时，即-2x²+5x+12＞15解得：1＜x＜

3

2

（4）当x∈[0，2]时，y_min=12 ymax=

121

8

（5）当x∈[3，4]时，函数为单调递减函数，x=3时y_max=9
故答案为：（1）抛物线的开口方向向下、对称轴方程：x=

5

4

、顶点坐标：(

5

4

，

121

8

)
（2）（2）①当y=0时，即-2x²+5x+12=0解得：x=-

3

2

或4
②当y＞0时，即-2x²+5x+12＞0解得：-

3

2

＜x＜4
③当y＜0时，即-2x²+5x+12＜0解得：x＜-

3

2

或x＞4
（3）当y＞15时，1＜x＜

3

2

（4）当x∈[0，2]时，y_min=12 ymax=

121

8

（5）当x∈[3，4]时y_max=9

点评：本题考查的知识点：二次函数一般式与顶点式的转换，顶点坐标和对称轴方程，一元二次方程的解法，一元二次不等式的解法，函数的最大值和最小值及相关的运算问题．