Question

已知函数f（x）=2cosx（sinx-

3

cosx）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若对任意x∈[0，

π

2

]，使得[f（x）+

3

]+2m=0成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）化简f（x）=2sin（2x-

π

3

）-

3

易解得最小正周期．
（2）[f（x）+

3

]+2m=0，则有sin（2x-

π

3

）+m=0；x∈[0，

π

2

]，则有-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，有-

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，从而可求出实数m的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=2cosx（sinx-

3

cosx）
=sin2x-2

3

cos²x
=sin2x-

3

cos2x-

3

=2sin（2x-

π

3

）-

3

故f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（2）∵f（x）=2sin（2x-

π

3

）-

3

∴[f（x）+

3

]+2m=2sin（2x-

π

3

）-

3

+

3

+2m=2sin（2x-

π

3

）+2m=0
即有sin（2x-

π

3

）+m=0
∵x∈[0，

π

2

]，∴-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，有-

3

2

≤sin（2x-

π

3

）≤1，
∴-

3

2

≤-m≤1，
故解得m∈[-1，

3

2

]

点评：本题主要考察了三角函数中的恒等变换应用和三角函数的周期性及其求法，属于中档题．