Question

如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且∠EDF=∠C，若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2．则PA=

 

．

Answer 1

考点：弦切角

专题：立体几何

分析：利用△DEF∽△CED与已知可得EC的长，进而得到BE，利用相交弦定理可得AE•ED=EB•CE，得到AE．再利用AP∥CD，可得△AEP∽△FED，得到PE，进而得到PB，再利用切割线定理可得PA²=PB•PC即可得出．

解答： 解：在△DEF和△CED中，∵∠EDF=∠C，∠DEF公用，∴△DEF∽△CED，∴

DE

EC

=

FE

ED

，
∵DE=3，EF=2，∴EC=

DE2

FE

=

32

2

=

9

2

．
∵CE：BE=3：2，∴BE=3．
由相交弦定理可得AE•ED=EB•CE，∴AE=

3× 9 2

3

=

9

2

．
∵AP∥CD，∴∠P=∠C，
∴∠P=∠EDF．
∴△AEP∽△FED，∴

AE

EF

=

PE

ED

，
∴PE=

AE•ED

EF

=

9 2 ×3

2

=

27

4

．
∴PB=PE-EB=

27

4

-3=

15

4

．
∵PA与⊙O相切，∴PA²=PB•PC=

15

4

×(

15

4

+3+

9

2

)=

15×45

4×4

．
∴PA=

15 3

4

．
故答案为：

15 3

4

．

点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、相交弦定理、切割线定理、平行线的性质等基础知识与基本技能方法，考查了分析问题和解决问题的能力，考查了推理能力和计算能力，属于难题．