Question

已知函数f（x）=xln x．
（1）求f（x）的极小值；
（2）讨论关于x的方程f（x）-m=0 （m∈R）的解的个数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,根的存在性及根的个数判断

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数，通过导数为0，判断极值点，即可求f（x）的极小值；
（2）利用（1）的结果，讨论函数的单调性，然后解答关于x的方程f（x）-m=0 （m∈R）的解的个数．

解答： 解　（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=ln x+1，…（2分）
令f′（x）=0，得x=

1

e

，
当x∈（0，+∞）时，f′（x），f（x）的变化的情况如下：

x	(0， 1 e )	1 e	( 1 e ，+∞)
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

…（6分）
所以，f（x）在（0，+∞）上的极小值是f（

1

e

）=-

1

e

．…（7分）
（2）当x∈(0，

1

e

)，f（x）单调递减且f（x）的取值范围是(-

1

e

，0)；
当x∈(

1

e

，+∞)时，f（x）单调递增且f（x）的取值范围是(-

1

e

，+∞)．…（10分）
令y=f（x），y=m，两函数图象交点的横坐标是f（x）-m=0的解，由（1）知当m＜-

1

e

时，原方程无解；
由f（x）的单调区间上函数值的范围知，
当m=-

1

e

或m≥0时，原方程有唯一解；
当-

1

e

＜m＜0时，原方程有两解．…（13分）

点评：本题考查函数的导数的综合应用，函数的极值点以及函数的单调性，方程的根的个数的应用，考查计算能力．