Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，M、N分别是线段PB、AC上的动点，且不与端点重合，PM=AN．
（1）求证：MN∥平面PAD；
（2）当MN的长最小时，求二面角A-MN-B的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）如图所示，过点M作ME⊥AB交AB于点E，连接EN．设N（a，a，0），由PM=AN，可得M的坐标．向量

MN

，取平面PAD的法向量

m

=（1，0，0），只要证明

MN

•

m

=0，即可得出．
（2）由|

MN

|=

a2+(a-1)2

=

2(a- 1 2 )2+ 1 2

≥

2

2

，可当a=

1

2

时，|

MN

|取得最小值．M(

1

2

，0，

1

2

)，N(

1

2

，

1

2

，0)，B（1，0，0）．利用线面垂直与数量积的关系可得

n1

，

n2

，利用cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

即可得出．

解答： （1）证明：如图所示，过点M作ME⊥AB交AB于点E，连接EN．
设N（a，a，0），∵PM=AN，∴M（a，0，1-a）．
∴

MN

=（0，a，a-1），
取平面PAD的法向量

m

=（1，0，0），
则

MN

•

m

=0，
∴

m

⊥

MN

．
∵点N不在平面PAD内，
∴MN∥平面PAD．
（2）解：|

MN

|=

a2+(a-1)2

=

2(a- 1 2 )2+ 1 2

≥

2

2

，
当a=

1

2

时，|

MN

|取得最小值．
M(

1

2

，0，

1

2

)，N(

1

2

，

1

2

，0)，B（1，0，0）．
∴

MN

=(0，

1

2

，-

1

2

)，

AN

=(

1

2

，

1

2

，0)，

BN

=(-

1

2

，

1

2

，0)．
设平面AMN，平面BMN的法向量分别为

n1

=（x，y，z），

n2

．
则

AN • n1 = 1 2 x+ 1 2 y=0 MN • n1 = 1 2 y- 1 2 z=0

，取y=1，z=1，x=-1．∴

n1

=（-1，1，1）．
同理可得

n2

=（1，1，1）．
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

1

3 × 3

=-

1

3

．
由图形可知：二面角A-MN-B的平面角为钝角．
∴二面角A-MN-B的余弦值为-

1

3

．

点评：本题考查了线面平行及垂直与数量积的关系、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．