Question

向量

a

=（x-

3

，y），向量

b

=（x+

3

，y），且满足|

a

|+|

b

|=4．
（1）求P（x，y）的轨迹方程；
（2）如果过O（0，m）且斜率为1的方程与P的轨迹交于A，B两点，当△AOB的面积取到最大值时，求m的值．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：向量与圆锥曲线

分析：（1）由题意和向量的模得：

(x- 3 )2+y2

+

(x+ 3 )2+y2

=4，几何意义是动点到两定点的距离之和为4，由椭圆的定义判断出点P（x，y）的轨迹是椭圆，再求出轨迹方程即可；
（2）先求出直线AB的方程，代入椭圆方程化简得二次方程，由弦长公式求出|AB|，由点到直线的距离公式求出三角形的高，表示出△AOB的面积，化简后利用基本不等式求此函数的最大值，以及m的值．

解答： 解：（1）由题意得，|

a

|+|

b

|=4，
所以

(x- 3 )2+y2

+

(x+ 3 )2+y2

=4，
上式的几何意义是：P（x，y）与点（

3

，0）、（-

3

，0）的距离之和是4＞2

3

，
所以P（x，y）的轨迹是以（

3

，0）、（-

3

，0）为焦点的椭圆，
且c=

3

，a=2，b=1，
则P（x，y）的轨迹方程是

x2

4

+y2=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
依题意得，直线AB的方程y=x+m，
代入椭圆方程

x2

4

+y2=1得，5x²+8mx+4m²-4=0，
则x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4m2-4

5

，
所以|AB|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

(- 8m 5 )2-4× 4m2-4 5

=

4 2 5-m2

5

，
又原点O（0，0）点到AB的距离d=

|m|

2

，
因此，S_△AOB=

1

2

|AB|•d
=

1

2

×

4 2 5-m2

5

×

|m|

2

=

2

5

(5-m2)m2

≤

2

5

•

5-m2+m2

2

 =1，当且仅当5-m²=m²时取等号，
即当m=±

10

2

时，△AOB的面积取到最大值1．

点评：本题考查平面向量与解析几何的问题，利用定义法求轨迹方程，基本不等式，以及直线与椭圆的关系，综合较强，考查化简计算能力．