题目内容
已知函数f（x）=sinωx•sin（
-φ）-sin（
+ωx）sin（π+φ）是R上的偶函数，其中ω＞0，0≤φ≤π，其图象关于点M（
，0）对称，且在区间[0，
]上是单调函数，求φ和ω的值．
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 2 |
考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性
专题：三角函数的求值
分析：由条件利用诱导公式、两角和的正弦公式可得f（x）=sin（ωx+φ），根据它是偶函数，结合φ的范围，可得φ=
，f（x）=cosωx．再根据cos（ω•
）=0，求得ω 的范围，再由f（x）=cosωx 在区间[0，
]上是单调函数，可得ω•
≤π，从而求得ω的值．
| π |
| 2 |
| 3π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
解答：
解：∵函数f（x）=sinωx•sin（
-φ）-sin（
+ωx）sin（π+φ）
=sinωx•cosφ+cosωx•sinφ=sin（ωx+φ）是偶函数，
∴φ=2kπ+
，k∈z．
再结合0≤φ≤π，可得φ=
，故f（x）=sin（ωx+
）=cosωx．
再根据函数f（x）的图象关于点M（
，0）对称，可得cos（ω•
）=0，
∴ω•
=nπ+
，n∈z，即ω=
，∴ω=2，5，8，…
再由f（x）=cosωx 在区间[0，
]上是单调函数，可得ω•
≤π，∴ω≤2，∴ω=2．
综上可得，ω=2，φ=
．
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
=sinωx•cosφ+cosωx•sinφ=sin（ωx+φ）是偶函数，
∴φ=2kπ+
| π |
| 2 |
再结合0≤φ≤π，可得φ=
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
再根据函数f（x）的图象关于点M（
| 3π |
| 4 |
| 3π |
| 4 |
∴ω•
| 3π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 4n+2 |
| 3 |
再由f（x）=cosωx 在区间[0，
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
综上可得，ω=2，φ=
| π |
| 2 |
点评：本题主要考查诱导公式、两角和的正弦公式、余弦函数的图象的对称性、余弦函数的单调性，属于基础题．
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| A、f（x1）＞f（x2） |
| B、f（x1）＜f（x2） |
| C、f（x1）=f（x2） |
| D、f（x1），f（x2）大小关系不能确定 |