Question

下列不等式中一定成立的个数是（　　）
①sinx＜x（x＞0）．
②ln x＞x-1（x＞1），
③e^x≥1+x （x∈R）．

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：不等式比较大小

专题：导数的综合应用

分析：利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：①令f（x）=sinx-x（x＞0），则f′（x）=cosx-1≤0，因此函数f（x）单调递减，∴f（x）＜f（0）=0，∴sinx＜x．因此成立．
②令g（x）=lnx-（x-1）（x＞1），则g′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

＜0，因此函数f（x）单调递减，∴g（x）＜g（1）=0，∴lnx＜x-1．因此不成立．
③令h（x）=e^x-（x+1）（x∈R），则h′（x）=e^x-1，令h′（x）＞0，解得x＞0，此时函数h（x）单调递增；令h′（x）＜0，解得x＜0，此时函数h（x）单调递减．
因此x=0时，函数h（x）取得最小值，∴h（x）≥h（0）=0，∴e^x≥1+x，因此成立．
综上可得：成立的个数是2．
故选：C．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．