Question

已知函数f（x）=x|x+a|-

1

2

lnx．求函数f（x）的极值点．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：函数f（x）=x|x+a|-

1

2

lnx的定义域为（0，+∞），从而讨论去绝对值号，再求导以确定函数的单调性及极值，从而解得．

解答： 解：函数f（x）=x|x+a|-

1

2

lnx的定义域为（0，+∞），
当a≥0时，f（x）=x（x+a）-

1

2

lnx，
f′（x）=2x+a-

1

2x

=

4x2+2ax-1

2x

；
令f′（x）=0得，x=-

a+ a2+4

4

（舍去），x=

a2+4 -a

4

；
经检验，x=

a2+4 -a

4

是函数f（x）的极值小点；
当a＜0时，f（x）=

-x2-ax- 1 2 lnx，0＜x＜-a x2+ax- 1 2 lnx，x≥-a

；
当0＜x＜-a时，f′（x）=-

4x2+2ax+1

2x

，当x≥-a时，f′（x）=

4x2+2ax-1

2x

；
当-

2

2

＜a＜0时，
当0＜x＜-a时，f′（x）=-

4x2+2ax+1

2x

＜0，当x≥-a时，f′（x）=

4x2+2ax-1

2x

先负后正；
令f′（x）=

4x2+2ax-1

2x

=0得，x=-

a+ a2+4

4

（舍去），x=

a2+4 -a

4

；
故x=

a2+4 -a

4

是函数f（x）的极值小点；
当-2≤a≤-

2

2

时，
当0＜x＜-a时，f′（x）=-

4x2+2ax+1

2x

≤0，当x≥-a时，f′（x）=

4x2+2ax-1

2x

≥0；
故x=-a是函数f（x）的极值小点；
当a＜-2时，
令f′（x）=

4x2+2ax-1

2x

=0得，x=

-a+ a2-4

4

，x=

-a- a2-4

4

；
经检验，x=

-a+ a2-4

4

是函数f（x）的极值大点，
x=

-a- a2-4

4

是函数f（x）的极值小点；
且当

-a- a2-4

4

＜x＜-a时，f′（x）=

4x2+2ax-1

2x

＜0，当x≥-a时，f′（x）=

4x2+2ax-1

2x

＞0；
故x=-a是函数f（x）的极值小点．

点评：本题考查了绝对值函数的应用，导数的综合应用及分类讨论的思想应用，属于中档题．