Question

13．已知F是双曲线$C：{x^2}-\frac{y^2}{8}=1$的右焦点，P为左支上任意一点，点$A（{0，6\sqrt{6}}）$，当△PAF的周长最小时，点P坐标为$（{-2，2\sqrt{6}}）$．

Answer 1

分析 求出左焦点H的坐标，由双曲线的定义可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|，求得2a+|AH|的值，即可求出△PAF周长的最小值，同时求出直线AH的方程，联立双曲线的方程，解方程可得P的坐标．

解答 解：∵F是双曲线$C：{x^2}-\frac{y^2}{8}=1$的右焦点，
∴a=1，b=2$\sqrt{2}$，c=3，F（3，0 ），左焦点为H（-3，0），
由双曲线的定义可得|PF|-|PH|=2a=2，（P在左支上），
又点$A（{0，6\sqrt{6}}）$，
|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|
≥2a+|AH|=2+$\sqrt{9+216}$=2+15=17，
∵|AF|=$\sqrt{9+216}$=15，
∴当且仅当A，P，H共线时，△PAF周长取得最小值为17+15=32．
由直线AH：$\frac{x}{-3}$+$\frac{y}{6\sqrt{6}}$=1，
代入双曲线$C：{x^2}-\frac{y^2}{8}=1$，解得x=-2，y=2$\sqrt{6}$，
即有P（-2，2$\sqrt{6}$），
故答案为：（-2，2$\sqrt{6}$）．

点评 本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，把|PF|+|PA|化为2a+|PH|+|PA|是解题的关键．